隱含條件與2009兩則

隱含條件與2009兩則

第一則

在大於2009的自然數中，逐個找出 “被46除後，商與餘數相等”。

問：這樣的數共有多少個？

改編自 郜舒竹編著 《整數問題》

第二則

設a, b都是自然數，(a²+b²) 除以u時，商數為(a+b)，餘數為r，試求出所有數對(a, b)，使得u ² -2u - r = 2009。

第一則的題解

分析     本題看起來有點兒令人費解，在大於2009這個無窮大的範圍中，所求數的個數似乎應該是無窮多，那麼這些數的總和也就應該是無窮大又。但仔細分析之後會發現其實並不是這麼回事，這道題實質上是已知除數以及商零餘數之間的關係，真被除數。

解   按照帶餘除式，本題中所求數可以表示為如下形式

46´ £ + D

其中第一個£中的數表示商，第二個D表示餘數，由已知條件知道£和D相等。

還有一個隱含條件，就是D小於46。

因此所求數又可以表示為46´ £ + £ (£小於47)

即是 47´£

又由已知條件知道所求數應該大於2009，所以£中的數應該大於

2009¸47»42.74

由於£中的數是整數，所以£中的數祇有43, 44, 45三種可能。因此這樣的數共有3個。

第二則的題解

分析     本題初看起來，一條方程式，卻有四個未知數，好像是沒有可能的。

這一題與前一題都有一個隱含條件，就是餘數是小於除數的。

解

根據題目條件，a,b,u和r，可以寫成以下關係式：

                          a²+b² = u (a+b) + r

(1)  由條件u ² -2u - r = 2009，推出 (u-1)² = 2010+ r,  

1936<2010£ (u-1)²；44²< (u-1)²再推出45< u

(2)  當u = 46，由條件u ² -2u - r = 2009，得 r =15

(3) 當u = 47， r =106與 r£ u予盾

(4) 不難發現，當u³ 47, r >u

由(1)至(4)，知u=46。

設u = 46，和r =15。代入  a²+b² = u (a+b) + r

                          得 a²+b² = 46 (a+b) + 15

                          用配方法和因式分解法，整理得下式

                          (a-23)²+(b-23)² = 1073

剩下的關鍵，是把1073分解成兩個平方和的形式，

經過有限次數的試驗，得出祇有兩組分解

                    1073= 7²+32² 和 1073 = 17²+28²

故數對(a, b)祇有四組解：

(30, 55)；(55, 30)；(40, 51)；(51, 40)

結論

這兩條題目，都沒有特別提及餘數和除數的關係，這就是一道隱含條件。如果沒注意這個必要條件，兩道題都是難於找到答案的。