淺談《龐加萊猜想》Poincarè Conjecture

早前報章上提到龐加萊猜想已經被解破，彼得也曾經對網友說過出一篇網誌說明，好幾個星期來沒有時間完成，今天就為大家介紹一下。彼得要先說，不以數學符號說明數學上的理論，其實並不容易，而各位在理解上也必須花點心思。

2006年6月3日，著名數學家丘成桐在中國科學院晨興數學研究中心宣布，在美、俄等國科學家的工作基礎上，中山大學朱熹平教授和旅美數學家、清華大學兼職教授曹懷東已經徹底證明龐加萊猜想。

兩位數學家第一次成功處理了猜想中奇異點的難題，發表了300多頁的論文，並刊載在美國出版的《亞洲數學期刊》六月號中。丘成桐教授指出這證明意義重大，將有助於人類了解三維空間，甚至會對科學家運用數學語言描述宇宙空間產生影響，而對物理學和工程學都將產生深遠的影響。

《龐加萊猜想》 Poincarè Conjecture是當今七大數學世紀難題之一，法國數學全才龐加萊(HenriPoincar)是代數拓樸學的建立人，於1904年發表的一組論文，是有關對空間幾何結構的猜想，當中提出一個問題：

任一單連通的、封閉的三維流形與三維球面同胚。

“Consider a compact 3-dimensional manifold V without boundary. Is it possible that the fundamental group of V could be trivial, even though V is not homeomorphic to the 3-dimensional sphere?”

龐加萊猜想其實是屬於數學中拓樸學的範圍，相信網友對於拓樸學一定感到陌生，但拓樸學是現今學術研究中十分重要的命題，而且應用廣泛，也是現今數學研究的主流，即使在生物科技中也能應用得到，例如DNA的雙螺旋結構，就會涉及所謂的拓樸性質。

用簡單一點的說明《龐加萊猜想》：每一個沒有破洞的封閉三維物體，都拓撲等價於三維的球面。彼得在此簡單介紹一下《龐加萊猜想》的基礎概念，大家還記得中學數學中的幾何吧，幾何的對象是圖形，圖形可說是由客觀世界中抽象得出來的，例如三角形、圓形、圓柱、球形等等，如果有讀高中的數學(附加數、純數)，我們會學到解折幾何，就會知道曲線及曲面等可由方程式表達出來，我們了解到曲線及曲面存在著許多的多樣化，例如三次方程式代表的曲線就有72類。而人們往往喜歡對事物的根基進行了解，在數學上亦一樣，問題是有沒有一類較基本/底層的“非量度的特性”，使我們更能了解圖形的本質，這就是拓樸學的範圍。

流形（Manifold）是在數學中用於描述幾何形體，歐氏空間就是流形最簡單的實例。簡單的說曲線是1維的流形、曲面就是2維的流形，而龐加萊猜想對對象是3維的流形，而在數學中我們也會考慮更高的維數。確切地說拓樸學研究的是一些圖形經拉長或壓縮後不變化的幾何性質(變形中圖形不會被扯斷)，圖形就好像橡皮做成的一樣。《龐加萊猜想》中有涉及單連通的、封閉及同胚這些拓樸性質。

先說「同胚」是指兩個幾何圖形可透過連續的拓樸變形而互相變化，就稱為「同胚」了，例如足球的形狀與檸檬的形狀就是「同胚」。

「連通性」，連通是較直觀的性質，指流形的點集(所有點的集合)是集合連成一塊，而不是互不相的多塊，而「單連通」是指所有流形上所有的圓圈都可以在流形上連續變形，最後收縮成為一點，例如球面就是單連通的，但輪胎面就不是。

而沒有邊緣的緊緻(compact)流形，就是封閉(closed)流形，是有界無邊的意思，至於緊緻的意思是只要從任何無窮覆蓋中均能選出有限多個來覆蓋一個流形，就稱這個流形是緊緻的，也是說緊緻性是任知何點列都有收斂的子序列，緊緻性在某種程度上相當於有限性，科普讀本在對我們說宇宙是「有限無界」，在數學上就是「緊緻無邊」，即封閉(closed)，而球面或輪胎面是緊致流型。

在龐加萊猜想提出後不久，就被推廣到N≥4維的情況，稱為廣義龐加萊猜想。1961年，美國數學家史提芬·斯梅爾採用十分巧妙的方法繞過三、四維的困難情況，證明了五維以上的龐加萊猜想。1981年另一位美國數學家M.Freedman證明了四維的龐加萊猜想，但對於本來的龐加萊猜想就困擾了數學家百年之久。

《龐加萊猜想》是數學界關注了上百年的重大難題，現在終於由有華人數學家完全破解，三維空間是我們生活中所感覺到的空間(長、闊、高)，龐加萊猜想的破解，將有助於以數學語言描述宇宙的基本特性。丘成桐在2006年國際弦理論大會上播放了漢密爾頓教授的錄像，向1000多名學者和數學愛好者講解了龐加萊猜想的証明方法，當中包括2004年諾貝爾物理學獎得主格羅斯和理論物理學家霍金，顯示成果對科學的重要性。事實上《龐加萊猜想》的證明，對現今的兩個急速發展的理論物理學範圍，超弦理論及圈量子引力量的統一帶來了希望。

好了，我們就談到這裡，如果再談的話，會涉及許多數學上的技術問題了。日後也來談談拓樸學的有趣特性。

《亞洲數學期刊》可在網上看到，但要看得懂就必須具有研究院程度的數學知識。網址http://www.intlpress.com

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