物理與近代投資 - 2

若投資者想知道投資銀行為什麼能接近無風險地發行期權(或認股證)，必需從Black Scholes Equation入手。

首先，我們設定股票價格服從幾何布朗運動（Geometric Brownian Motion）

Equation (1)

S      = 股價

dS    = 股價的瞬間變動

μ      = 股票的瞬間期望報酬

t       = 時間

dt     = 時間的瞬間變動

σ      = 股票的瞬間波動度

W     = Wiener Process

dW = W的瞬間變化。簡單來說，dW是一個符合常態分配(Normal Distribution)的隨機變數

其次，設定V是期權價格，其價值為股票價格(S)及時間(t)的函數，即V = V(S,t)。

根據Ito’s Lemma

Equation (2)

同時，我們設定一個投資組合

Equation (3)

S              = 股價

V            = 期權價格

−∂V/∂S    = 用作對沖期權的股票數量 (delta)

(以上的投資組合一般稱為 delta hedging portfolio)

由於delta hedging portfolio是動態的，會隨時間不斷改變。所以，需要以時間微分一次

Equation (4)

然後，將 equation (1)及equation (2)代入equation (4)，得出

Equation (5)

在合理的預期下，delta hedging portfolio的投資回報應最少等於市場上無風險資產同一時期的投資回報( r )，所以

Equation (6)

最後，將 equation (3) 代入equation (6)，得出Black Scholes PDE

從以上Black Scholes PDE看到， dW (符合Normal Distribution的隨機變數)已經消去。因此，期權的定價將不受任何機率的影響。簡單來說，若投資銀行能維持delta hedging portfolio (調控用作對沖期權的股票數量 = delta hedging)，便能無風險地發行期權(或認股證)。

(待續)